Μαθηματικό παράδοξο: 1=0,9999…

Αν x=0,9999…. (περιοδικός αριθμός) τότε θα αποδείξουμε πως x=1.
Δηλαδή 0,9999…=1

Α’ ΤΡΟΠΟΣ
Έστω x=0,9999..
10x=10*0,9999….
10x=9,9999….
10x=9+0,99999….
10x=9+x
10x-x=9
9x=9
Άρα x=1 και όχι x=0,999… όπως ορίσαμε στην αρχή!

Β’ ΤΡΟΠΟΣ
Γνωρίζουμε πως 9/9=1
9*(1/9)=1
9*(0,1111….)=1
0,99999….=1

Γ’ ΤΡΟΠΟΣ
1/3=0,3333…
3*(1/3)=3*0,3333….
1=0,9999….

Δ’ ΤΡΟΠΟΣ
1/3=0,3333…. και 2/3=0,6666….
(1/3)+(2/3)=0,3333…+0,6666….
3/3=0,9999….
1=0,9999….

ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΕΙΝΑΙ ΠΩΣ ΑΝ ΘΕΛΗΣΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΑΛΛΟ ΝΟΥΜΕΡΟ ΔΕΝ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Έστω x=0,4444…
10x=10*0,4444….
10x=4,4444….
10x=4+0,4444….
10x=4+x
10x-x=4
9x=4
Άρα x=4/9 δηλαδή x=0,4444… όπως αρχικά είχαμε ορίσει!!!

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Επειδή όμως κάθε πρόβλημα έχει τη λύση του… Πρόκειται για θραύση αοριστίας στα όρια. Η ποσότητα 0,9999… (όπου τα εννιάρια επαναλαμβάνονται δίχως τέλος) δεν είναι αριθμός αλλά μία έννοια, ένα σύμβολο που αναπαριστά την τιμή ενός ορίου μιας ακολουθίας ρητών αριθμών. Σύμφωνα με τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου όταν για κάθε ε>0 το X πλησιάζει κοντά στο Xο απείρως και χωρίς περιορισμό τότε X και Xo είναι ισοδύναμοι. Δηλαδή: lim f(X) = f(Xo). Στα πλαίσια των πραγματικών αριθμών λοιπόν μπορεί να λεχθεί πως 0,9999…=1.

Για περισσότερα: http://el.wikipedia.org/wiki/0,999…

One Comment

  1. Σ.Σ.
    Posted Φεβρουαρίου 18, 2012 at 1:18 μμ | Permalink

    Κατά την προσωπική μου θεώρηση, το 0.999… είναι απλώς ο «προηγούμενος» αριθμός από το 1. Αλλά και γενικότερα αυτό ισχύει για
    οποιοδήποτε ΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΟ αριθμό. Όπως επίσης μπορώ κάλλιστα να θεωρήσω ότι υπάρχει και επόμενος από οποιονδήποτε ΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΟ αριθμό.
    Απλά επειδή το dx δέν είναι μιά έκφραση…ας το πώ…μονοσήμαντα ορισμένη, δέν μπορώ να εκφράσω αυτούς τους «προηγούμενους» και «επόμενους» αριθμούς με κάποιον καθορισμένο τρόπο. Μόνο μιά απόπειρα μπορώ να κάνω με όρια. Όντως η διαφορά κατά dx μπορεί κάλλιστα να αγοηθεί όταν μιλάμε για αριθμούς οι οποίοι περιέχουν άπειρα dx. Ακριβώς όπως αγνοούμε τα dx είς το τετράγωνο όταν αθροίζω με dx κ.ο.κ. Εάν όμως θέλουμε να ακριβολογούμε, τότε σε καμία περίπτωση δεν θα πρέπει να συνδέουμε-συγχέουμε το μηδέν με το dx ακόμη και άν αυτό είναι υψωμένο στην οποιαδήποτε θετική δύναμη!! ΠΡΟΣΩΠΙΚΑ λοιπόν, θα μπορούσα να πώ 0.999…=1 αλλά ΥΠΟ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ! Κατά κάποιον τρόπο…ανάλογα με το ποιά «σκοπιά» του πράγματος θέλει να εξετάσει κάποιος!


Δημοσίευσε ένα σχόλιο

Required fields are marked *
*
*

Αρέσει σε %d bloggers: